Nace en Almería en 1889 y ejerce de topógrafo. En 1916, empieza a trabajar para la Administración y nueve años más tarde pasa a formar parte del Instituto Geográfico Catastral. Por estas fechas, Enrique ingresa en la masonería y milita, desde antes de la proclamación de la República, en el Partido Republicano Radical Socialista. Más adelante pasa a Izquierda Republicana donde ocupa varios cargos.

Durante los primeros meses de la Guerra Civil, Enrique se dedica a la conservación topográfica parcelaria. En octubre de 1936, se afilia al Sindicato de Ingeniería y Arquitectura donde llega a ocupar la vicesecretaría. En mayo de 1937, entra a formar parte, como capitán de ingenieros asimilado, del Ejército Republicano. Su destino, el Batallón de Fortificaciones encargado de construir los refugios antiaéreos de Almería.

Tras la caída de los frentes, Enrique Enciso Amat, al igual que miles de combatientes republicanos, trata de ponerse a salvo y parte hacia el puerto de Alicante. Pero allí no hay salida, cae prisionero y es trasladado al campo de concentración de Albatera (Alicante), donde es clasificado y remitido a la prisión central de Porta Coeli (Valencia). En mayo de 1940, es trasladado a la prisión del Ingenio en Almería tras habérsele iniciado un procedimiento sumario.

Enrique Enciso Amat es condenado a doce años y un día de reclusión temporal. Se le acusa de Auxilio a la Rebelión. El propio tribunal propone la conmutación de dicha pena por la de seis años y un día de prisión mayor. Por su parte, el Tribunal de Responsabilidades Políticas le sanciona con el pago de una multa de doce mil pesetas, los cargos que se le imputan: pertenecer a la masonería, afiliación a Izquierda Republicana y desempeñar el cargo de Gobernador Civil interino en Almería.