Nace en Bailen (Jaén) en 1877. Estudia Medicina en las universidades de Granada y Barcelona, licenciándose en 1900. Su actividad profesional como médico la inicia en la provincia de Almería a la edad de veintitrés años. En 1918, se traslada a la capital. Casado con Dolores Rodríguez Marín, con la que tiene seis hijos.

La actividad política y social de Juan Company será intensa, defiende que no se puede ser buen médico sin comprometerse políticamente para erradicar las injusticias sociales, génesis de muchas enfermedades. De esta forma, en 1919 es tesorero del Colegio de Médicos. Ese mismo año publica Higiene de las madres, guía para prevenir las enfermedades infecciosas. En 1925, es nombrado vocal de la Junta Provincial Antituberculosa. En 1931, Company da el paso definitivo en la política, es elegido concejal del Ayuntamiento de Almería por el Partido Republicano Federal. Realiza funciones de primer teniente de alcalde y es responsable de la Comisión de Beneficencia, Sanidad y Cementerios. También, en ese mismo año, será parlamentario.

Al concluir la Guerra Civil, inicia su periplo en el exilio. Primero, a Orán (Argelia) y, tres años más tarde, en octubre de 1942, a México. Su avanzada edad y las enfermedades que padece, hacen su estancia en este último país especialmente penosa. Juan Company no abandona la idea de volver a España.

En septiembre de 1949, con setenta y un años, cansado de esperar un cambio de régimen que no llega, Company regresa a España gracias a la mediación de su amigo el doctor Gregorio Marañón. Un año después de su llegada, a mediados de 1950, mantiene su última lucha: conseguir su rehabilitación como médico. Sin embargo, el Colegio de Médicos de Almería le niega su ingreso alegando que su expediente de depuración política incoado en 1939 está aún vigente. No sólo le impiden ejercer como médico, también le prohíben visitar Almería. Agotadas sus esperanzas muere a los pocos meses en Benicalap (Valencia) el 7 de enero de 1951.